Exercice
Session de rattrapage 2010
Partie 1
Soit `g` la fonction numérique définie sur `]0,+infty[` par `g(x)=x^3-x -2lnx +3 `
1a) Vérifier que ` forall x in ]0,+infty[ : 3x^3-x-2 = (x-1)(3x^2+3x+2) `
b) Montrer que ` forall x in ]0, +infty[ : g'(x)=( (x-1)(3x^2+3x+2))/x `
2a) Vérifier que ` forall x in ]0,+infty[ ` : `(3x^2+3x+2)/x > 0 `
b) En déduire que le signe de `g'(x)` est celui de ` x-1 ` sur l intervalle `]0,+infty[`
3a) Montrer que `g` est décroissante sur `]0,1]` et croissante sur `[1,+infty[`
b) En déduire que ` forall x in ]0,+infty[ : g(x) > 0 `
Partie 2
On considère la fonction `f` définie sur `]0,+infty[` par ` f(x)= x-1 + (x-1+lnx)/x^2`
et soit `C_f` sa courbe représentative dans un repère orthonormé `(O, vec(i) , vec(j))`
1) Montrer que ` forall x in ]0,+infty[ : f'(x)= (g(x))/x^3 ` , puis en déduire que `f` est croissante sur `]0,+infty[`
2a) Montrer que ` lim_{ x to 0^+} f(x)= -infty ` puis interpréter géométriquement ce résultat
b) Montrer que ` lim_{ x to +infty} (x-1+lnx)/x^2 = 0 ` puis ` lim_{ x to +infty} f(x)= +infty `
c) Montrer que la droite `(Delta) : y=x-1` est une asymptote oblique de la courbe `C_f` au voisinage de `+infty `
3a) Montrer que ` (T) : y = 3(x-1)` est une équation cartésienne de la tangente `(T)` à la courbe `C_f` au point `I(1,0) `
b) Construire la droite `(T) ` et la courbe `C_f`
Partie 3
1) Montrer , à l'aide d'une intégration par parties que ` int_1^e (lnx)/x^2 dx = 1 -2/e `
2) Montrer que l'aire du domaine plan délimité par la courbe `C_f` , la droite `(D) : y =x-1 ` et les droites d'équations cartésiennes `x= 1` et ` x= e ` est ` (1 -1/e)cm^2 ` : ` text{ unité} = 1cm `
Partie 1
Soit `g` la fonction numérique définie sur `]0,+infty[` par `g(x)=x^3-x -2lnx +3 `
1a) Vérifier que ` forall x in ]0,+infty[ : 3x^3-x-2 = (x-1)(3x^2+3x+2) `
b) Montrer que ` forall x in ]0, +infty[ : g'(x)=( (x-1)(3x^2+3x+2))/x `
2a) Vérifier que ` forall x in ]0,+infty[ ` : `(3x^2+3x+2)/x > 0 `
b) En déduire que le signe de `g'(x)` est celui de ` x-1 ` sur l intervalle `]0,+infty[`
3a) Montrer que `g` est décroissante sur `]0,1]` et croissante sur `[1,+infty[`
b) En déduire que ` forall x in ]0,+infty[ : g(x) > 0 `
Partie 2
On considère la fonction `f` définie sur `]0,+infty[` par ` f(x)= x-1 + (x-1+lnx)/x^2`
et soit `C_f` sa courbe représentative dans un repère orthonormé `(O, vec(i) , vec(j))`
1) Montrer que ` forall x in ]0,+infty[ : f'(x)= (g(x))/x^3 ` , puis en déduire que `f` est croissante sur `]0,+infty[`
2a) Montrer que ` lim_{ x to 0^+} f(x)= -infty ` puis interpréter géométriquement ce résultat
b) Montrer que ` lim_{ x to +infty} (x-1+lnx)/x^2 = 0 ` puis ` lim_{ x to +infty} f(x)= +infty `
c) Montrer que la droite `(Delta) : y=x-1` est une asymptote oblique de la courbe `C_f` au voisinage de `+infty `
3a) Montrer que ` (T) : y = 3(x-1)` est une équation cartésienne de la tangente `(T)` à la courbe `C_f` au point `I(1,0) `
b) Construire la droite `(T) ` et la courbe `C_f`
Partie 3
1) Montrer , à l'aide d'une intégration par parties que ` int_1^e (lnx)/x^2 dx = 1 -2/e `
2) Montrer que l'aire du domaine plan délimité par la courbe `C_f` , la droite `(D) : y =x-1 ` et les droites d'équations cartésiennes `x= 1` et ` x= e ` est ` (1 -1/e)cm^2 ` : ` text{ unité} = 1cm `
7 réponses
Partie 1
Soit ` x in ]0, +infty[ `
On a `(x-1)(3x^2+3x+2) = 3x^3 +3x^2 +2x -3x^2 -3x -2 `
` = 3x^3 -x -2 `
1 a) Vérifier que ` forall x in ]0,+infty[ : 3x^3-x-2 = (x-1)(3x^2+3x+2) `
Soit ` x in ]0, +infty[ `
On a `(x-1)(3x^2+3x+2) = 3x^3 +3x^2 +2x -3x^2 -3x -2 `
` = 3x^3 -x -2 `
Avez vous une question
b) Montrer que ` forall x in ]0, +infty[ : g'(x)=( (x-1)(3x^2+3x+2))/x `
la fonction `g` est dérivable sur `]0,+infty[`
et on a pour tout ` x in ]0,+infty[ : g'(x)= (x^3-x-2lnx +3)' `
` = 3x^2 -1 -2/x = ( 3x^3 -x -2)/x = ((x-1)(3x^2+3x+2))/x `
Avez vous une question
2 a) Vérifier que ` forall x in ]0,+infty[ ` : `(3x^2+3x+2)/x > 0 `
On considère le trinome `T(x) : 3x^2+3x+2 `
On a `Delta = 3^2 -4xx2xx3 = 9-24 = -15 < 0 `
alors ` forall x in R : 3x^2+3x+2 > 0 ` car ` 3 > 0 `
comme ` x > 0 ` alors `(3x^2+3x+2)/x > 0 `
Avez vous une question
b) En déduire que le signe de `g'(x)` est celui de ` x-1 ` sur l intervalle `]0,+infty[`
On a ` g'(x)= (x-1) xx[ (3x^2+3x+2 )/x ] `
Comme pour tout ` x > 0 : [ (3x^2+3x+2 )/x ] > 0 `
donc le signe de ` g'(x)` est celui de ` x-1 ` sur `]0,+infty[ `
Avez vous une question
3 a) Montrer que `g` est décroissante sur `]0,1]` et croissante sur `[1,+infty[`
le signe de ` g'(x) ` est celui de ` x-1 `
On a ` x -1 >= 0 <=> x >= 1 `
et par suite ` g'(x) >= 0 <=> x >= 1 => g ` est croissante sur `[1,+infty[`
` g'(x) <= 0 <=> x in ]0, 1] => g ` est décroissante sur `]0,1]`
On résume les variations dans le tableau suivant
On a ` g(1)= 1-1 -2ln1 +3 = 3 `
Avez vous une question
b) En déduire que ` forall x in ]0,+infty[ : g(x) > 0 `
On a pour tout ` x >= 1 `
`=> g(x) >= g(1) =3 ` car `g` est croissante sur `[1,+infty[ `
`=> g(x) > 0 `
On a pour tout ` x in ]0,1] => x < 1 `
`=> g(x) > g(1) = 3 ` car `g` est décroissante sur `]0,1]`
`=> g(x) > 0 `
il s'ensuit que
Avez vous une question
Partie 2
On a pour tout ` x > 0 ` : `f` est dérivable et
` f'(x)= ( x-1 + (x-1+lnx)/x^2)' `
` = (x-1)' + ((x-1+lnx)'x^2 -(x^2)'(x-1+lnx))/x^4 `
` = 1 + ( (1+1/x)x^2 -2x(x-1+lnx))/x^4`
` = (x^4 + x^2 +x -2x^2+2x -2xlnx)/x^4 `
` = (x(x^3 -x +3-2lnx))/x^4 `
` = (x^3 -x +3-2lnx)/x^3`
` = (g(x))/x^3 `
Puisque pour tout ` x > 0 ` on a ` g(x) > 0 ` et `x^3 > 0 `
alors pour tout ` x > 0 : f'(x) > 0 `
il s'ensuit que `f` est croissante sur `]0,+infty[ `
1) Montrer que ` forall x in ]0,+infty[ : f'(x)= (g(x))/x^3 ` , puis en déduire que `f` est croissante sur `]0,+infty[`
On a pour tout ` x > 0 ` : `f` est dérivable et
` f'(x)= ( x-1 + (x-1+lnx)/x^2)' `
` = (x-1)' + ((x-1+lnx)'x^2 -(x^2)'(x-1+lnx))/x^4 `
` = 1 + ( (1+1/x)x^2 -2x(x-1+lnx))/x^4`
` = (x^4 + x^2 +x -2x^2+2x -2xlnx)/x^4 `
` = (x(x^3 -x +3-2lnx))/x^4 `
` = (x^3 -x +3-2lnx)/x^3`
` = (g(x))/x^3 `
Puisque pour tout ` x > 0 ` on a ` g(x) > 0 ` et `x^3 > 0 `
alors pour tout ` x > 0 : f'(x) > 0 `
il s'ensuit que `f` est croissante sur `]0,+infty[ `
Avez vous une question